Re: Re「改訂新版 双子のパラドックス」 ケース 0 (1/2) - 山川

2025/01/19 (Sun) 20:06:45

詳細にご返答いただきありがとうございます。


>前回ご指摘のページは私の思い違いがあったので、公開を中止しました。

承知いたしました。

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多くの質問をいただき、本来ならば上から順番に回答すべきかもしれませんが、1個だけ他と毛色が異なる質問があるので先にそれに回答します。

>又、例えば「相対性理論の正しい間違え方」では静止系から加速度運動系を見た場合の計算で、微小時間の速度による時間遅れを積分するだけで、慣性力による時間遅れは全く考慮していません。いったいなぜなのでしょう。(私のサイト「加速運動する時計の時間遅れの計算式ではなぜ加速による慣性力の影響を含めないのか？」を参照いただければ幸いです。)

「相対論の正しい間違え方」は過去に読んだことがありますが、今は手元にありません。よって内容が確認できないので、もしかしたら質問の内容からずれたことを言ってしまうかもしれませんのでその際はご指摘ください。
それで、質問に対する回答ですが、

「慣性力による時間遅れ」なんていう現象はありません。

以上です。が、なぜこのような疑問が生じたかを考えてみました。
もしかしたら、いわゆる「双子のパラドックス」について不適切な説明をしている人がいるのかもしれません。「留守番側はずっと慣性系である。しかし旅行側は折り返すときに慣性力を感じるのでその分だけ時間が遅れる。」みたいな説明がされているとすれば、それはちょっと違います。
時間の遅れについて、重力がゼロの時空の場合と、重力がある時空で静止している場合の2つに分けて書きます。


● 重力がゼロの時空の場合（特殊相対性理論）
観測者から見て観測対象の物体が速さVで運動しているとします。観測者の時間をT、観測対象の物体の時間をtとします。
このときtとTの関係は次のようになります。
[A] 観測者が慣性系のとき
　　dt = √(1－V²/c²)dT　　… (1)
　(1)式はVのみに依存し、観測対象の物体の加速度は関係ないです。ここで V = 0 なら dt = dT になります。
[B] 観測者が加速系のとき
　速さVだけが与えられても情報不足のためdtとdTの関係は求まりません。大小関係すら決まりません。なぜならdtは観測対象の物体の位置にも依存するからです。
　ここで V = 0 であっても必ずしも dt = dT になりません。

これを踏まえて、無重力の時空における「双子のパラドックス」を簡単に説明するならば、こうなります:
留守番側の視点で考えるときは[A]に当てはまるので、留守番側から見た旅行側の時間は(1)式で求まります。旅行側の加速度が0か否かにかかわらずです。
旅行側の視点で考えるときは[B]に当てはまります。ここで誤って[A]で考えて(1)式を使ってしまうと矛盾に陥りますが、正しく[B]を適用すれば大丈夫です。
要は
×誤「旅行側は、慣性力の分だけ時間が遅れる」
○正「旅行側視点で見ると、慣性力のせいで[A]でなく[B]になる（(1)式が成り立たない）」
ということです。
実際、「双子のパラドックス」では旅行側が旅先でUターンするときはどっち側から見ても旅行側（加速系）の時間が遅れますが、出発する際の加速時と帰還する際の減速時は旅行側から見れば留守番側（慣性系）の時間が遅れます。いつでも慣性力がかかる側が遅れるということはありません。


● 重力がある時空で静止している場合（等価原理）
観測者も観測対象の物体も重力場に対して静止している（重力場は定常である）とします。
観測者がいる場所の重力ポテンシャルをΦ、観測対象の物体がいる場所の重力ポテンシャルをφとします。（重力ポテンシャルとは、ニュートン力学でよく gh とか -GM/R みたいに書かれているアレをそのまま使えばいいです。）
観測者の時間をT、観測対象の物体の時間をtとします。
このときtとTの関係は近似的に次のようになります。
　dt = {1 + (φ - Φ) / c²} dT　　… (2)
なお、これは1次近似なので、2次以上の項の影響が大きいときはあてになりません。
実際、(2)式を使った後で観測者と観測対象を入れ替えてもう一度(2)式を適用すると、2次以上の項が元に戻りません。厳密な話をしたければちゃんと一般相対性理論を用いる必要があります。

ここで時間に影響するのは重力ポテンシャルΦやφであり、物体に作用する慣性力（重力）の大きさは関係ありません。


● 重力がある時空で観測者や物体が動いている場合　は面倒なので省略します。


（※次の投稿に続きます。）

Re: Re「改訂新版 双子のパラドックス」 ケース 0 (2/2) - 山川

2025/01/19 (Sun) 20:12:14

（※前の投稿から続きます。）

では残りの質問について、上から順に回答していきます。

>> …一般相対性理論の手法に基づく計算が必要です。
>　なぜ一般相対性理論の手法に基づく計算が必要なのでしょうか？

引用が省略されている「…」のところに理由が書いてありますが、もう一度書きますと「星の重力が存在している（時空の曲率が0でない）から」です。


>加速度運動するからでしょうか？

いいえ、加速度運動することは問題ありません。


>重力が働くからでしょうか？

はい、そのとおりです。もっと詳しく言うと、場所によって異なる方向の重力が働いているからです。


>もしそうなら重力と加速度運動による慣性力は等価だと言われていますよね。

はい、そのとおりです。
ですがその話には前提条件があって、厳密には空間内のある1点でしか成り立たないし、近似的にも狭い領域内でしか成り立ちません。
これはもともと、試験管内とか実験室内といった、地球（重力源の天体）に比べて十分に狭い範囲のことしか考えていない場面で出てきた話です。

例えば地球の南極点に実験室があって、室内で起きる物理現象を記述したいとします。しかし地球の重力が存在しているからそのままでは特殊相対性理論が使えません。
そこで、地心に向かって自由落下する系（天の北極の方向に1gで加速する系）を考えて、この系を「A系」と呼ぶことにしましょう。実験室系はA系に対して天の南極の方向に1gで加速度運動していることになります。
A系では観測者である自分のすぐ近くで自由落下する物体は自分に対して（ほぼ）等速直線運動するので、無重力であり慣性系とみなせる（近似できる）ので特殊相対性理論が使えます。
すると、まずA系で特殊相対性理論を使って運動方程式等を解いたりして物理現象を記述し、その結果を実験室系（加速系）に座標変換することで、重力がある実験室内で起きる物理現象を実験室系で記述することができるようになります。
「等価」とはそういう意味です。

しかし、A系は南極点付近では慣性系になっていますが他の場所では全然そうなっていませんよね。
A系は天の北極の方向に1gで加速しているのだから、A系から見ると北極点では重力（慣性力）が2倍になってしまうし、赤道では重力（慣性力）が南斜めπ/4㎭方向に√2倍になってしまうし、全然慣性系ではありません。実際、北極点付近で自由落下する物体はA系（の観測者）に対して等速直線運動しないことは明らかです。
このように特定の場所付近でのみ慣性系になるという意味で、こういう系のことを「局所慣性系」といいます。

もしも北極点付近で起きる物理現象を記述したければ、A系ではダメですが南北を逆にした「B系」を考えれば同様に特殊相対性理論を使って記述できます。
しかし、B系で起きる物理現象をA系から見たらどう見えるか、といったことは特殊相対論+等価原理だけでは説明できません（この点は下の方でまた触れます）。
重力を「加速系における慣性力」にすり替えるこの手法が通用するのは、重力が一様とみなせる狭い範囲内で起きる物理現象を扱うときだけです。


>例え等価でも重力による加速度を「相対性理論の正しい間違え方」のようにロケットの加速度運動と同じと見なして計算してはダメなのでしょうか？

本当に等価ならそれでいいです。本問の状況では等価でない（ような広域で起きる物理現象を扱っている）からダメです。
「ロケットの加速度運動によって生じる慣性力」は、「宇宙全体で一様に同じ方向（ロケットの後方）を向いた重力」と等価ですが、「星の重心を向いた球対称な重力」と等価ではありません。


元の本問に戻って考えると、南子は上記のA系、北雄は上記のB系に相当します。
例えば、十分に小さな宇宙船内で静止している南子が、ボールを壁に向かって投げて、跳ね返ってきたボールを受け取るような場面を考えるとします。
等価原理によりA系で宇宙船の重心付近では（近似的にですが）無重力状態になるから特殊相対論が成り立つので、普通の「双子のパラドックス」と同じ状況であり、投げてから受け取るまでの南子の経過時間よりボールの経過時間の方が短くなります。このようにして等価原理を活用して特殊相対論を使うことは問題ありません。
しかし星の反対側にいる北雄の運動を、同じようにA系で特殊相対論で記述することはできません。A系から見て北雄がいる場所は無重力状態ではないからです。だから南子から見て北雄の時間が遅れるか進むかどうなるかを、A系で特殊相対論で計算することはできません。

それならば、B系で特殊相対論を使って北雄の運動（単に静止しているだけですが）を記述し、その結果をA系に座標変換すれば良いではないか、という考えが浮かぶかもしれません。
ただ、ここで改めて考えてみるとおかしなことに気づきます。少なくとも今までのニュートン力学や特殊相対性理論では、慣性系に対して等速直線運動する系は慣性系であり、そうでない系は加速系でした。
そうすると今は、（局所）慣性系であるA系から見ると、B系は加速度運動しているから慣性系ではないことになります。しかしB系から見れば自分こそが（局所）慣性系であり、それに対して加速度運動しているA系は慣性系ではないという話になり、矛盾します。こんな矛盾を抱えたまま無理やり座標変換っぽいことをしても、まったくうまくいく気がしません。

この問題は正に管理人さんが本問で問題提起されている矛盾とたぶん本質的に同じで、ここから得られる結論は「一様でない一般の重力場中の物理現象を特殊相対論+等価原理だけで記述することはできない（矛盾が生じる）。」ということになります（近似的にはできる場合もあります）。
自力でこの発想に至った管理人さんはたぶん頭が良いのでしょう。私は本に書いてあることを理解するだけで精一杯で、自分でこのような場面設定を思いつくことはありませんでした。

それでこの困った事態を解決する理論が一般相対性理論です（他にも理論はあるらしいですが、廃れたようです）。
一般相対性理論では4次元時空に対してリーマン幾何学という数学を適用し、時空が曲がっているという概念を導入することで、本問のような一般の重力場中の物理現象を矛盾なく記述することができるようになります。
矛盾がないからと言ってそれが正しい理論であるとは限りませんが、正しい理論であるための必要条件をとりあえず1つクリアしたということです。

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いったんここで区切ることにします。残りの質問に回答しようとすると、何度も同じようなことを書くことになりそうだからです。
ここまでで質問の追加・変更等はありますでしょうか。
そのまま続けて残りの質問にも答えろということであればそう仰ってください。